Question

18．如图，三棱锥S-ABC，E、F分别在线段AB、AC上，EF∥BC，△ABC、△SEF均是等边三角形，且平面SEF⊥平面ABC，若BC=4，EF=a，O为EF的中点．
（Ⅰ）当a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，求三棱锥S-ABC的体积．
（Ⅱ）a为何值时，BE⊥平面SCO．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△SEF为等边三角形，且O为EF的中点，得SO⊥EF，再由已知得SO⊥平面ABC，通过求解等边三角形得到底面三角形ABC的面积，再求出SO，代入三棱锥体积公式求得三棱锥S-ABC的体积；
（Ⅱ）连接AO并延长，交BC与G，则AG⊥BC，通过平行线截线段成比例定理求得OG=$2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a$，分别以AG、EF、OS所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用
BE⊥OC，得$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OC}=（\frac{\sqrt{3}}{2}a-2\sqrt{3}，2-a，0）•$$（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a，2，0）$=0，求解关于a的方程可得BE⊥平面SCO时的a值．

解答 解：（Ⅰ）如图，
∵△SEF为等边三角形，且O为EF的中点，∴SO⊥EF，
又平面SEF⊥平面ABC，且平面SEF∩平面ABC=EF，
∴SO⊥平面ABC，
在等边三角形ABC中，由BC=4，得${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=4\sqrt{3}$，
在等边三角形SEF中，由EF=a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$SO=\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}=\frac{3}{4}$，
∴${V}_{S-ABC}=\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×\frac{3}{4}=\sqrt{3}$；
（Ⅱ）连接AO并延长，交BC与G，则AG⊥BC，
由EF∥BC，得$\frac{AO}{AG}=\frac{a}{4}$，∴AO=$\frac{a}{4}AG=\frac{a}{4}\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
则OG=AG-AO=$2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
分别以AG、EF、OS所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
则O（0，0，0），C（$2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a$，2，0），
E（0，-a，0），B（$2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a$，-2，0），
若BE⊥平面SCO，
∵SO⊥BE，只需BE⊥OC，即$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OC}=（\frac{\sqrt{3}}{2}a-2\sqrt{3}，2-a，0）•$$（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a，2，0）$=0，
即$-（\frac{3}{4}{a}^{2}-12）+4-2a=0$，解得：$a=\frac{4（\sqrt{13}-1）}{3}$．
∴$a=\frac{4（\sqrt{13}-1）}{3}$时，BE⊥平面SCO．

点评 本题考查空间几何体体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，考查运算能力，是中档题．