Question

5．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（I）求C的参数方程；
（II）若半圆C与圆D：（x-5）²+（y-$\sqrt{3}$）²=m（m是常数，m＞0）相切．试求切点的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}{=x}^{2}{+y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程，利用cos²t+sin²t=1进而得出参数方程；（2）结合图象和圆的位置关系求出切点的坐标即可．

解答 解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，即ρ²=4ρcosθ，
可得C的普通方程为（x-2）²+y²=4（0≤y≤2）．
可得C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=2（1+cost）}\\{y=2sint}\end{array}\right.$（t为参数，0≤t≤π）．
（2）如图示：

连接圆心AB，则两圆切与P，设P（x，y），
在RT△ABC中，AB=$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{y}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$，解得y=1，
∴AD=$\sqrt{3}$，则x=2+$\sqrt{3}$，
∴P（2+$\sqrt{3}$，1）．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、圆与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．