Question

17．用数学归纳法证明6^2n-1+1（n∈N^•）能被7整除．

Answer 1

分析 用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当n=k+1时，结论也成立即可

解答 证明：①当n=1时，6^2×1-1+1=6+1=7，能被7整除； 
②假设当n=k时，即6^2k-1+1（k∈N^•）能被7整除，
那么当n=k+1时：6^2（k+1）-1+1=6^2k+1+1=6^（2k-1）+2+1=6^2k-1×6²+1═6^2k-1×36+1═6^2k-1×（35+1）+1=6^2k-1×35+6^2k-1+1=6^2k-1×5×7+（6^2k-1+1）
由假设知6^2k-1×5×7+（6^2k-1+1）能被7整除
所以当n=k+1时，命题也成立
由①②可知，6^2n-1+1（n∈N^•）能被7整除

点评 本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立