Question

18．已知函数f（x）=sin2x-2cos²x．x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据两角差的正弦公式得到f（x）=$sin2x-cos2x-1=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1$，从而求出f（x）的最小正周期；
（2）根据x的范围，求出2x-$\frac{π}{4}$的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）由已知f（x）=sin2x-2cos²x=$sin2x-cos2x-1=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）-1$，
∴f（x）的最小正周期为π；
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
∴当$2x-\frac{π}{4}=-\frac{π}{4}$，
即x=0时，f_min（x）=-2，
当$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{3π}{8}$时，${f_{max}}（x）=\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换问题，考查函数的周期及最值，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，本题是一道中档题．