Question

14．（1）求函数y=$\frac{2}{x}$+3x的值域．
（2）已知x，y为正实数，且$\frac{x}{2}$+y=1，求$\frac{x+8y}{xy}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）对x分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）当x＞0时，$y≥2\sqrt{\frac{2}{x}•3x}$=2$\sqrt{6}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$时取等号．
当x＜0时，同理可得y≤$-2\sqrt{6}$．
∴函数y=$\frac{2}{x}$+3x的值域为$（-∞，-2\sqrt{6}]$∪$[2\sqrt{6}，+∞）$．
（2）∵x，y为正实数，且$\frac{x}{2}$+y=1，
∴$\frac{x+8y}{xy}$=$（\frac{x}{2}+y）$$（\frac{1}{y}+\frac{8}{x}）$=5+$\frac{x}{2y}+\frac{8y}{x}$≥5+2$\sqrt{\frac{x}{2y}•\frac{8y}{x}}$=9，当且仅当x=4y=$\frac{4}{3}$时取等号．
∴$\frac{x+8y}{xy}$的最小值为9．

点评 本题考查了基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．