Question

15．已知点A（m，0）和双曲线x²-y²=1右支上的两个动点B，C，在点B，C的运动过程中，若存在三个等边△ABC，则实数m的取值范围是（$\sqrt{6}$，+∞）∪（-∞，-$\sqrt{6}$）．

Answer 1

分析 讨论当直线BC与x轴垂直时，对任一个m，均有ABC为等边三角形；设直线BC的方程为y=kx+t（k≠0），代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式、以及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合等边三角形的高与边长的关系，由不等式的性质，计算即可得到所求范围．

解答 解：当直线BC与x轴垂直时，对任一个m，均有ABC为等边三角形；
设直线BC的方程为y=kx+t（k≠0），代入双曲线的方程，可得
（1-k²）x²-2ktx-t²-1=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），可得
判别式为4k²t²+4（1-k²）（t²+1）＞0，即t²+1-k²＞0，
x₁+x₂=$\frac{2kt}{1-{k}^{2}}$＞0，x₁x₂=-$\frac{1+{t}^{2}}{1-{k}^{2}}$＞0，可得k²＞1．
均有BC的中点M为（$\frac{kt}{1-{k}^{2}}$，$\frac{t}{1-{k}^{2}}$），
|BC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4{k}^{2}{t}^{2}}{（1-{k}^{2}）^{2}}+\frac{4（1+{t}^{2}）}{1-{k}^{2}}}$，
由AM⊥BC，可得k_AM=-$\frac{1}{k}$，
均有$\frac{t}{kt-m+m{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$，均有2kt=m（1-k²），
即t=$\frac{m（1-{k}^{2}）}{2k}$，①
由A到直线BC的距离为d=$\frac{|km+t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4{k}^{2}{t}^{2}}{（1-{k}^{2}）^{2}}+\frac{4（1+{t}^{2}）}{1-{k}^{2}}}$，
两边平方，将①代入，化简可得，m²=$\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}-1}$=6+$\frac{6}{{k}^{2}-1}$＞6，
即有m＞$\sqrt{6}$或m＜-$\sqrt{6}$．
由双曲线的对称性可得，范围内有一个m，即有两个k的值，以及k不存在的情况．
故答案为：（$\sqrt{6}$，+∞）∪（-∞，-$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，注意运用对称性，讨论直线的斜率不存在和存在，联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．