Question

设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A且与AF垂直的光线经椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设入射光线与右准线的交点为B，过A，B，F三点的圆恰好与直线3x一y+3=0相切，求椭圆的方程．

Answer 1

解：（1）因为入射光线与反射光线垂直，
所以入射光线与准线所成的角为45°，…（2分）
即∠FAO=45°，
所以b=c，
所以椭圆的离心率为． …（6分）
（2）由（1）知，
可得A（0，c），B（2c，-c），又AF⊥AB，
所以过A，B，F三点的圆的圆心坐标为，
半径，…（8分）
因为过A，B，F三点的圆恰好与直线3x-y+3=0相切，…（10分）
所以圆心到直线3x-y+3=0的距离等于半径r
，即，
得c=1，…（14分）
所以，
所以椭圆的方程为． …（16分）
分析：（1）因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为45°，由此能求出椭圆的离心率．
（2）由，得A（0，c），B（2c，-c），由AF⊥AB，知过A，B，F三点的圆的圆心坐标为，半径，由此能够求出椭圆的方程．
点评：本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意余弦定理和数形结合思想的灵活运用．