Question

椭圆C:  +=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.

(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明2m-k为定值.

Answer 1

(1) +y²=1   (2)见解析

(1)解:因为e==,
所以a=c,b=c.
代入a+b=3,
得c=,a=2,b=1.
故椭圆C的方程为+y²=1.
(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,
则直线BP的方程为y=k(x-2)（k≠0,k≠±）,          ①
把①代入+y²=1,
解得P.
直线AD的方程为y=x+1.②
①与②联立解得M.
由D(0,1),P，N(x,0)三点共线知
=,
解得N.
所以MN的斜率为m=
=
=,
则2m-k=-k=(定值).