Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面边长为2，侧棱长为，

(1)求二面角B₁-AC-B的大小；

(2)求点B到平面AB₁C的距离.

Answer 1

解析:(1)连结AC、BD交于点O，连结B₁O(如图)，易知BB₁⊥底面ABCD且BO⊥AC，

∴B₁O⊥AC.

∴∠B₁OB是二面角B₁ACB的平面角.

在Rt△B₁BO中，B₁B=，OB=×2=.

∴tan∠B₁OB=1，且∠B₁OB为锐角.

∴∠B₁OB=45°，

即二面角B₁ACB为45°.

(2)作BM⊥B₁O于M，由AC⊥平面B₁OB，

∴BM⊥AC.∴BM⊥平面AB₁C，即BM为点B到平面AB₁C的距离.

在等腰Rt△B₁BO中，BB₁=，OB=，∴BM=1.

小结：在正棱柱中,侧棱垂直于底面,底面是正多边形,这是正棱柱的性质.本题由于底面ABCD是正方形,∴BO⊥AC.又B₁B⊥底面ABCD，∴∠B₁OB是二面角B₁ACB的平面角.求点B到平面AB₁C的距离,就是求Rt△B₁OB的斜边B₁O上的高.