Question

18．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ x-y≥-2\\ x≤2\end{array}\right.$表示的平面区域为D，点O（0，0），A（1，0）．若点M是D上的动点，则$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}}{{|{\overrightarrow{OM}}|}}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 利用向量的数量积将条件进行转化，利用数形结合进行求解即可得到结论．

解答 解：设z=$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}}{{|{\overrightarrow{OM}}|}}$，则z=$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}}{{|{\overrightarrow{OM}}|}}$=|$\overrightarrow{OA}$|•$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OM}|}$=|$\overrightarrow{OA}$|•cos∠A0M，
∵O（0，0），A（1，0）．
∴|$\overrightarrow{OA}$|=1，
∴z=|$\overrightarrow{OA}$|•cos∠A0M=cos∠A0M，
作出不等式组对应的平面区域如图：
要使cos∠A0M，
则∠A0M最大，
即当M在C处时，∠A0M最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x-y=-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即C（1，3），
则|AC|=$\sqrt{10}$，
则cos∠A0M=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用向量的数量积将条件进行转化是解决本题的关键．