Question

已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD的中点,G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如图).

    

(1)求证:BD⊥EG;

(2)求EG和平面ABCD所成的角;

(3)求二面角B-DC-F的余弦值.

Answer 1

解:建立如图所示的空间坐标系,则A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,2),G(2,2,0),F(0,3,0).

(1)=(2,2,0),=(-2,2,2).

∴cos〈,〉==0.

∴BD⊥EG.4分

(2)设面ABCD的法向量为n₁=(x,y,z),则n₁·=0,n₁·=0,

即设x=1,即n₁=(1,0,1).

cos〈n₁,〉==,

EG和平面ABCD所成的角为30°.8分

(3)设平面DFC的法向量为n₂=(x,y,z),则n₂·=0,n₂·=0,

取x=1,n₂=(1,-2,3),

cos〈n₁,n₂〉==0.

∴所以二面角B-DC-F的余弦值为0.