Question

14．求函数f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1，x∈[-3，2]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 令t=（$\frac{1}{2}$）^x，由x的范围，求得t的范围，再由二次函数的值域求法，可得f（x）的最值．

解答 解：令t=（$\frac{1}{2}$）^x，由x∈[-3，2]，可得t∈[$\frac{1}{4}$，8]，
y=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
对称轴为t=$\frac{1}{2}$，区间[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]为减区间，
（$\frac{1}{2}$，8]递增，
即有t=$\frac{1}{2}$，即x=1时，取得最小值$\frac{3}{4}$；
t=8，即x=-3时，取得最大值57．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，以及二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．