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设双曲线xy=1的两支为C1,C2(如图),正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上.
(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;
(2)设P(-1,-1)在C2上,Q、R在C1上,求顶点Q、R的坐标.
分析:(1)设某个正三角形的三个顶点都在同一支上,此三点坐标为P(x1
1
x1
),O(x2
1
x2
),R(x3
1
x3
),则
1
x1
1
x2
1
x3
>0
,由此导出tan∠POR<0,从而∠POR为钝角,即△POR不可能是正三角形.
(2)P(-1,-1),设O(x2
1
x2
),点P在直线y=x上,以P为圆心,|PO|为半径作圆,此圆与双曲线第一象限内的另一交点R满足|PO|=|PR|,由圆与双曲线都与y=x对称,知O与R关于y=x对称,且在第一象限内此两条曲线没有其他交点(二曲线的交点个数),于是R(
1
x2
,x2),由此能够求出顶点Q、R的坐标.
解答:(1)证明:设某个正三角形的三个顶点都在同一支上,
此三点坐标为P(x1
1
x1
),O(x2
1
x2
),R(x3
1
x3
),
1
x1
1
x2
1
x3
>0

kPO=
1
x2
-
1
x1
x2-x1
=-
1
x1x2
,kPR=
1
x3
-
1
x1
x3-x1
=-
1
x2x3

tan∠POR=
-
1
x1x2
+
1
x2x3
1+
1
x1x3x22
<0,
从而∠POR为钝角,即△POR不可能是正三角形.
所以P、Q、R不能都在双曲线的同一支上.
(2)解:P(-1,-1),设O(x2
1
x2
),点P在直线y=x上,
以P为圆心,|PO|为半径作圆,
此圆与双曲线第一象限内的另一交点R满足|PO|=|PR|,
由圆与双曲线都与y=x对称,
知O与R关于y=x对称,
且在第一象限内此两条曲线没有其他交点(二曲线的交点个数),
于是R(
1
x2
,x2),
∴PO与y=x的夹角等于30°,PO所在直线的倾斜角等于75°,
tan75°=
1+
3
3
1-
3
3
=2+
3

PO所在的直线方程为y+1=(2+
3
)(x+1),
代入xy=1,
解得O(2-
3
,2+
3
),于是R(2+
3
,2-
3
).
点评:本题考查三点不能都在双曲线的同一支上的证明,考查双曲线顶点坐标的求法,难度大,综合性强,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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设双曲线xy=1的两支C1C2,正三角形PQR的三个顶点位于此双曲线上,

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<

 

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(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;
(2)设P(-1,-1)在C2上,Q、R在C1上,求顶点Q、R的坐标.
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(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;
(2)设P(-1,-1)在C2上,Q、R在C1上,求顶点Q、R的坐标.

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