Question

14．已知a，b是实数，函数f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致．
（Ⅰ）讨论f（x）的极值；
（Ⅱ）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[-2，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致即f′（x）g′（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立，以及3x²+a＞0，来求实数b的取值范围；
（Ⅲ）先求出f′（x）=0的根以及g′（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a-b|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+a，
a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，无极值，
a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$）递增，在（-$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$）递减，在（$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$，+∞）递增，
∴f（x）的极大值是f（-$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$）=-$\frac{2a\sqrt{-3a}}{9}$，f（x）的极小值是f（$\frac{\sqrt{-3a}}{3}$）=$\frac{2a\sqrt{-3a}}{9}$．
（Ⅱ）f′（x）=3x²+a，g′（x）=2x+b，
由题得f′（x）g′（x）≥0在[-2，+∞）上恒成立．
因为a＞0，故3x²+a＞0，
进而2x+b≥0，即b≥-2x在[-2，+∞）上恒成立，所以b≥4，
故实数b的取值范围是[4，+∞）；
（Ⅲ）令f′（x）=0，得x=±$\sqrt{-\frac{a}{3}}$．
若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f′（0）g′（0）=ab＜0，
所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．
因此b≤0．
现设b≤0，当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0；
当x∈（-∝，-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）时，f′（x）＞0．
因此，当x∈（-∝，-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$）时，f′（x）g′（x）＜0．故由题设得a≥-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$且b≥-$\sqrt{-\frac{a}{3}}$，
从而-$\frac{1}{3}$≤a＜0，于是-$\frac{1}{3}$＜b≤0，因此|a-b|≤$\frac{1}{3}$，且当a=-$\frac{1}{3}$，b=0时等号成立，
又当a=-$\frac{1}{3}$，b=0时，f′（x）g′（x）=6x（x²-$\frac{1}{9}$），从而当x∈（-$\frac{1}{3}$，0）时f′（x）g′（x）＞0．
故函数f（x）和g（x）在（-$\frac{1}{3}$，0）上单调性一致，因此|a-b|的最大值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．