Question

3．已知函数f（x）的定义域为[-2，2]，且满足：f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）为单调函数，且f（1）＞0，f（-1）=-1，解不等式：f（2x）+f（x²-2）＞-2．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法令x=y=0，即可求f（0）；
（2）利用赋值法令y=-x，即可得到f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数
（3）将不等式f（2x）+f（x²-2）＞-2进行等价转化，利用函数的单调性进行求解．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，
（2）令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
（3）由于f（x）为奇函数，且为单调函数，f（1）＞0，f（-1）=-1，
∴f（x）为单调递增函数，
令x=y=-1，
则f（-2）=2f（-1）=-2，
∵f（2x）+f（x²-2）＞-2，
∴f（2x+x²-2）＞f（-2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤{x}^{2}+2x-2≤2}\\{{x}^{2}+2x-2＞-2}\end{array}\right.$，
解得0＜x≤$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性的判断与证明，训练了特值法求函数的值，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题．