Question

14．设非空集合A={x||x²-2x|≤x}，B={x||$\frac{x}{1-x}$|≤$\frac{x}{1-x}$}，C={x|ax²+x+b＜0}，试问是否存在这样的实数a，b，使（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R成立？若存在，试求它们的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 分别求解绝对值的不等式和分式不等式化简集合A，B，然后求出A与B的并集，根据（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R，可得集合C为A∪B在R上的补集，即可得到集合C，可知ax²+x+b=0的两个根为0和3，根据韦达定理列出方程求出a，b的值即可．

解答 解：|2x-x²|≤x，当x=0时显然成立；
当x≠0时，化简得$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}＞0}\\{2x-{x}^{2}≤x}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}≤0}\\{{x}^{2}-2x≤0}\end{array}\right.$，
解得：1≤x＜2或2≤x≤3，
∴A={x|1≤x≤3}∪{0}；
根据|$\frac{x}{1-x}$|≤$\frac{x}{1-x}$，得到$\frac{x}{1-x}$≥0，
∴x≥0且1-x＞0或x≤0且1-x＜0，
解得：0≤x＜1，则B={x|0≤x＜1}，
∴A∪B={x|0≤x≤3}．
若（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R，
则C={x|x＜0或x＞3}．
∴0，3是方程ax²+x+b=0的两根，
由韦达定理：$\left\{\begin{array}{l}{0+3=-\frac{1}{a}}\\{0×3=\frac{b}{a}}\\{a≠0}\end{array}\right.$，解得a=-$\frac{1}{3}$，b=0．
∴存在实数a=$-\frac{1}{3}$，b=0，使（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R成立．

点评 本题考查并集、交集的运算，考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，训练了运用韦达定理解决数学问题的能力，是中档题．