Question

圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y²=2x的准线和双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的渐近线都相切，则圆心的坐标是

（

1

2

，

13

8

） 或（

1

2

，

7

8

）

．

Answer 1

分析：根据双曲线的标准方程，求出渐近线方程，结合条件设出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求得参数，从而得到所求．

解答：解：由双曲线方程可得a=4，b=3，c=5，
渐近线方程y=

3x

4

和y=-

3x

4

，即3x-4y=0和3x+4y=0．
抛物线y²=2x的准线为：x=-

1

2

，
根据圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y²=2x的准线相切，
设圆心A的坐标为（

1

2

，m），（m＞0）．
①当圆与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的渐近线3x-4y=0相切时，
圆心A到直线3x-4y=0的距离即为圆的半径1，
即

|3× 1 2 -4m|

16+9

=1，⇒m=

13

8

；
②当圆与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的渐近线3x+4y=0相切时，
圆心A到直线3x+4y=0的距离即为圆的半径1，
即

|3× 1 2 +4m|

16+9

=1，⇒m=

7

8

；
则圆心的坐标是：（

1

2

，

13

8

） 或（

1

2

，

7

8

）．
故答案为：（

1

2

，

13

8

） 或（

1

2

，

7

8

）．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，圆的标准方程，求半径是解题的关键．