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已知F1,F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左右焦点,以坐标原点O为圆心,以双曲线的半焦距c为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为A,与y轴正半轴的交点为B,点A在y轴上的射影为H,
OH
=(0,
3
2
c)

(1)求双曲线的离心率;
(2)若AF1交双曲线于点M,且
F1M
MA
,求λ.
分析:(1)根据题意与
OH
=(0,
3
2
c)
,可求A(
c
2
3
2
c)
,A在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
上,将点A的坐标代入,
整理后利用a2+b2=c2即可求得双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的离心率;
(2)由
F1M
MA
,结合已知条件可求得M(
(λ-2)c
2(1+λ)
3
λc
2(1+λ)
)
,将点A、M的坐标代入
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,得到方程组,从而转化为离心率与λ的函数关系,从而可求得λ.
解答:解:(1)由已知F1(-c,0),点A在y轴上的射影为H,…(1分)
OH
=(0,
3
2
c)

H(0,
3
2
c)
A(
c
2
3
2
c)
∵A在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1

c2
4a2
-
3c2
4b2
=1
…(4分).
b2c2-3a2c2=4a2b2,c4-8a2c2+4a4=0,e4-8e2+4=0
e2=4+2
3
e=
3
+1
…(6分)
(2)∵
F1M
MA
M(
(λ-2)c
2(1+λ)
3
λc
2(1+λ)
)
…(8分)
由A,M都在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
上,
c2
4a2
-
3c2
4b2
=1…(1)
c2(λ-2)2
4a2(1+λ)2
-
3c2λ2
4b2(1+λ)2
=1…(2)
…(10分)
由(1)得 
c2
b2
=
e2-4
3
代入(2)
e2(λ-2)2
4(1+λ)2
-
(e2-4)λ2
4(1+λ)2
=1

λ=
e2-1
e2+2
=
3
+1
4
…(12分)
点评:本题考查圆与圆锥曲线的综合,着重考查学生解方程组与综合应用a2,b2,c2,及离心率e之间的关系,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•湖南)已知F1,F2分别是椭圆E:
x25
+y2=1
的左、右焦点F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当ab最大时,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•青岛二模)已知F1、F2分别是双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的一点,
PF2
F1F2
,且|
PF1
|=
2
|
PF2
|
,则双曲线的离心率为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1,F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a>0, b>0)
的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,且椭圆C的离心率e=
1
2
,F1也是抛物线C1:y2=-4x的焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F2的直线l交椭圆C于D,E两点,且2
DF2
=
F2E
,点E关于x轴的对称点为G,求直线GD的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知F1,F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左,右焦点,P是双曲线的上一点,若
PF1
PF2
=0
|
PF1
|•|
PF2
|=3ab
,则双曲线的离心率是
 

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