Question

【题目】已知.

（Ⅰ）当时，若关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范围；

（Ⅱ）对任意时，不等式恒成立，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)1.

【解析】试题分析：

(Ⅰ) 当时， ，结合图象可得若方程有且只有两个不同的实根，只需即可．（Ⅱ）由题意得只需满足即可，根据函数图象的对称轴与区间的关系及抛物线的开口方向求得函数的最值，然后解不等式可得所求．

试题解析：

（Ⅰ）当时， ，

∵关于的方程有且只有两个不同的实根，

∴，

∴.

∴实数的取值范围为．

（Ⅱ）①当 ，即时，函数在区间上单调递增，

∵不等式恒成立，

∴ ，可得，

∴

解得，与矛盾，不合题意．

②当，即时，函数在区间上单调递减，

∵不等式恒成立，

∴，可得

∴

解得，这与矛盾，不合题意．

③当，即时，

∵不等式恒成立，

∴，整理得 ，

即，即，

∴ ，解得.

当时，则，故.

∴.

综上可得．