Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距是2，离心率是0.5
（1）求椭圆的方程．
（2）经过A（1，2），倾斜角为45⁰的直线l与椭圆C相交于M、N两点，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）由题设求出c，结合离心率求出a，利用b²=a²-c²求出b²，则椭圆方程可求；
（2）写出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，由弦长公式得答案．

解答：解：（1）由2c=2，得c=1，又e=

c

a

=0.5，所以a=2．
则b²=a²-c²=4-1=3．
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）过A（1，2），倾斜角为45⁰的直线l的斜率为1，方程为y-2=1×（x-1），
即y=x+1．
联立

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0．
设M（x₁，x₂），N（x₂，y₂）．
x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

，
所以|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(- 8 7 )2-4×(- 8 7 )

=

24

7

．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了一元二次方程根与系数关系，训练了弦长公式，是中档题．