Question

（2013•成都二模）巳知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）（a＞b＞0）以抛物线y²=8x的焦点为顶点，且离心率为

1

2

（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l：y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点，与直线x=-4相交于Q点，P是 椭圆E上一点且满足

OP

=

OA

+

OB

（其中O为坐标原点），试问在x轴上是否存在一点T，使得

OP

•

TQ

为定值？若存在，求出点了的坐标及

OP

•

TQ

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆以抛物线y²=8x的焦点为顶点，且离心率为

1

2

，求出几何量，即可求椭圆E的方程；
（II）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理确定P的坐标，代入椭圆方程，再利用向量的数量积公式，即可得到结论．

解答：解：（I）抛物线y²=8x的焦点即为椭圆E的顶点，即a=2，
∵离心率为

1

2

，∴

c

a

=

1

2

∴c=1，∴b=

a2-c2

=

3

∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线方程代入椭圆方程，可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=

-8km

4k2+3

，y₁+y₂=

6m

4k2+3

∴P（

-8km

4k2+3

，

6m

4k2+3

）代入椭圆方程可得

( -8km 4k2+3 )2

4

+

( 6m 4k2+3 )2

3

=1
∴4m²=4k²+3
设T（t，0），Q（-4，m-4k），
∴

TQ

=（-4-t，m-4k），

OP

=（

-8km

4k2+3

，

6m

4k2+3

）
∴

OP

•

TQ

=

-8km

4k2+3

×（-4-t）+

6m

4k2+3

×（m-4k）=

6m2+8km+8kmt

4k2+3

∵4m²=4k²+3
∴

OP

•

TQ

=

3

2

+

2k(1+t)

m

∴要使

OP

•

TQ

为定值，只需[

2k(1+t)

m

]2=

(4m2-3)(1+t)

m2

为定值
∴1+t=0
∴t=-1
∴在x轴上存在一点T（-1，0），使得

OP

•

TQ

=

3

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．