Question

已知函数f(x)=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R，
（Ⅰ）当a=时，讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若函数f(x)仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f(x)≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ），
当时，，
令f′(x)=0，解得，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)在内是增函数，在内是减函数．
（Ⅱ），显然x=0不是方程的根，
为使f(x)仅在x=0处有极值，必须成立，
即有，解不等式，得，
这时，f(0)=b是唯一极值；
因此满足条件的a的取值范围是。
（Ⅲ）由条件a∈[-2，2]，可知，
从而恒成立，
当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0，
因此函数f(x)在[-1，1]上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者，
为使对任意的a∈[-2，2]，不等式f(x)≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当，即在a∈[-2，2]上恒成立，所以b≤-4，
因此满足条件的b的取值范围是．