Question

14．已知函数y=f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求y=f（x）的最大值；
（2）设实数a＞0，求函数F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值．
（2）利用（1）的结论，判断出函数的最大值在e处取得；最小值在端点处取得；通过对a的分类讨论比较出两个端点值的大小，求出最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$，∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0得x=e．
∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，则在（e，+∞）上为减函数，
∴f_max（x）=f（e）=$\frac{1}{e}$．
（2）∵a＞0，由（1）知：
F（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
∴F（x）在[a，2a]上的最小值f（x）_min=min{F（a），F（2a）}，
∵F（a）-F（2a）=$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$，
∴当0＜a≤2时，F（a）-F（2a）≤0，f_min（x）=F（a）=lna．
当a＞2时，F（a）-F（2a）＞0，f（x）_min=f（2a）=$\frac{1}{2}$ln2a．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与导函数符号的关系、利用导数求函数的最值、分类讨论的数学思想方法．