Question

如图，已知椭圆C_l：

x2

11

+y²=1，双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若以C₁的长轴为直径的圆与C₂的一条渐近线相交于A，B两点，且C₁与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C₂的离心率为（　　）

• A、5
• B、

  17

• C、

  5

• D、

  2 14

  7

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的应用

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线方程为y=

b

a

x，代入

x2

11

+y²=1，可得交点的横坐标，利用C₁与该渐近线的两交点将线段AB三等分，可得b=2a，即可求出C₂的离心率．

解答： 解：双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线方程为y=

b

a

x，
代入

x2

11

+y²=1，可得x=±

11 a

a2+11b2

，
∵C₁与该渐近线的两交点将线段AB三等分，
∴

1+ b2 a2

•2•

11 a

a2+11b2

=

1

3

•2

11

，
整理可得b=2a，
∴c=

a2+b2

=

5

a，
∴e=

c

a

=

5

，
故选：C．

点评：本题考查椭圆、双曲线的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．