Question

已知a，b，c∈R₊，且a+b+c=1．证明：
（Ⅰ）a²+b²+c²≥

1

3

；
（Ⅱ）

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：（Ⅰ）由题意得，1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤3（a²+b²+c²），结论得证．
（Ⅱ）由题意得，

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，得到

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+a+b+c≥2（a+b+c），结论得证．

解答： 证明（Ⅰ）∵a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，∴1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥

1

3

，当且仅当a=b=c时，等号成立．    
（Ⅱ）∵

a2

b

+b≥2a，

b2

c

+c≥2b，

c2

a

+a≥2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

+a+b+c≥2（a+b+c），
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c=1，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥1

点评：本题考查用比较法证明不等式，基本不等式的应用，将式子变形是证明的关键．