已知f(x)是定义在R上连续的偶函数,f(x)的图象向右平移一个单位长度又得到一个奇函数,且f(2)=-1.则f(8)+f(9)+f(10)+…+f(2012)=________.
解:∵f(x)是R上的偶函数,
∴f(x)=f(-x) 用x+1换x,即f(x+1)=f(-x-1)①
∵将f(x)的图象向右平移一个单位后,得到一个奇函数的图象,
∴函数f(x)的图象的对称中心(-1,0),有f(-1)=0,且f(-1-x)=-f(-1+x) ②
∴由①②得f(x+1)=-f(-1+x),可得f(x+2)=-f(x),得到f(x+4)=f(x),
∴函数f(x)存在周期T=4,
∵f(2)=-1,f(-1)=0,
利用条件可以推得:f(-1)=f(1)=0,f(2)=-1=-f(0),f(3)=f(4-1)=0,
f(-3)=f(3)=0,f(4)=f(0)=1,
所以在一个周期中f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
∴f(8)+f(9)+f(10)+…+f(2012)=f(8)=f(4)=1.
故答案为:1.
分析:由题意知偶函数f(x)的关系式f(x)=f(-x),又得f(x+1)=f(-x-1),f(x)在右移之前有对称中心(-1,0),故函数f(x)存在周期T=4,在利用题中的条件得到函数在一个周期内的数值,利用周期性即可求解.
点评:此题考查了利用函数的对称性及奇偶性找到函数的周期,深刻理解以上性质是解决问题的关键,再利用已知的条件求出一个周期内的函数值.