Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AB=∠A₁AC，AB=AC，A₁A=A₁B=a，侧面B₁BCC₁与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B₁C₁、A₁A的中点，
（Ⅰ）求A₁A与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）证明A₁E∥平面B₁FC；
（Ⅲ）求经过A₁、A、B、C四点的球的体积。

Answer 1

（Ⅰ）解：过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H， 连结AH，并延长交BC于G，连结EG， 于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角， ∵∠A1AB=∠A1AC， ∴AG为∠BAC的平分线， 又∵AB=AC， ∴AG⊥BC，且G为BC的中点， 因此，由三垂线定理，A1A⊥BC， ∵A1A∥B1B，且EG∥B1B，EG⊥BC， 于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角， 即∠AGE=120°， 由于四边形A1AGE为平行四边形， 得∠A1AG=60°， 所以，A1A与底面ABC所成的角为60°； （Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P， 则点P为EG的中点，连结PF， 在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点， 故A1E∥FP， 而FP平面B1FC，A1E平面B1FC， 所以A1E∥平面B1FC。 （Ⅲ）解：连结A1C， 在△A1AC和△A1AB中， 由于AC=AB，∠A1AC=∠A1AB，A1A=A1A， 则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B， 由已知得A1A=A1B=A1C=a， 又∵A1H⊥平面ABC， ∴H为△ABC的外心， 设所求球的球心为O，则O∈A1H， 且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A， 在Rt△A1FO中，， 故所求球的半径， 球的体积。