Question

【题目】如图，已知钝角△ABC中，∠B-∠C=90°，∠C=θ，其外接圆⊙O的半径为R.AD是⊙O的一条直径，过点D作⊙O的切线与BC的延长线交于H，过点D作BA的平行线交AC的延长线于E，交过D、O、H的圆于G，联结GH、EH.求△EGH的面积.

Answer 1

【答案】

【解析】

设直线OH分别交AC、BA的延长线于E’、F.

首先证明：O为线段E’F的中点.

如图，设∠BAC=a，∠CBA=β.联结OB、OC.设∠OAB=x，∠OAC=y，∠OBC=z.

则a+β+θ=180°，x-y=a，x+z=β，z-y=θ.

故x-y+z.

从而，x=90-θ， y=β-90°，z=90°-a.

联结BD，则∠DBH=∠DAC= y，∠BDH=∠DAB=x， BD=2Rsinx.

在△DBH中，由正弦定理得.

设∠AOF=γ.在Rt△ODH中，DH=Rtanγ.

所以，

即.

则

即

在△AOF和△AOE’中，分别用正弦定理可得

所以，OF= OE’.

因为O为线段AD的中点，所以,DE'//BA.则点E’与E重合.于是，∠GEH=∠OED.

又O、D、G、H四点共圆，所以，∠HGE=∠DOH=∠DOE.

因此，△EGH∽△EOD.

过D、O、H的圆的直径. 而∠GDH=90°-x.

在△GDH中，由正弦定理得

故，即.

在△AED中，由正弦定理得.

则

由，得.

所以，

.