Question

【题目】在三棱台中，是等边三角形，二面角的平面角为，.

（I）求证：；

（II）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（I）先由线面垂直的判定定理证明平面，进而可得；

（II）可以在几何体中作出直线与平面所成的角，解三角形即可；也可用向量的方法建立适当的坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，根据向量夹角的余弦值确定线面角的正弦值.

（I）证明：设，与交于点，取棱的中点，连结.

因，，

故.

又是棱的中点，

故.

同理

又平面，且，

因此平面，

又平面，

所以；

（II）方法一：

作，垂足为.

因平面，

故平面，

从而为直线与平面所成的角.

不妨设,则，，

所以.

方法二：如图，以为原点建立空间直角坐标系，

由（I），为二面角的平面角，则，

设，，则点 , , ，.

设为平面，即平面的一个法向量，

由 ，得，

令，则，即.

.

设是直线与平面所成的角，

则.