Question

[2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)

A.当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值

B.当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值

C.当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值

D.当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值

 

Answer 1

C

【解析】当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，

f′(x)＝xex－1，

∵f′(1)＝e－1≠0，

∴f(x)在x＝1处不能取到极值；

当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，

令H(x)＝xex＋ex－2，

则H′(x)＝xex＋2ex>0，x∈(0，＋∞)．

说明H(x)在(0，＋∞)上为增函数，

且H(1)＝2e－2>0，H(0)＝－1<0，

因此当x0<x<1(x0为H(x)的零点)时，f′(x)<0，f(x)在(x0,1)上为减函数．

当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．

∴x＝1是f(x)的极小值点，故选C.