Question

已知关于x的一元二次方程x²-2x+b-a+3=0，其中a、b为常数，点（a，b）是区域Ω：

0≤a≤4 0≤b≤4

内的随机点．
（1）当方程无实根且a、b∈N 时，试列举出所有的点（a，b），并求此时概率P₁；
（2）设该方程的两个实根分别为x₁、x₂，试求x₁、x₂满足 0≤x₁≤1≤x₂ 时的概率P₂．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）当方程无实根且a、b∈N 时，利用列举法，即可求出所有的点（a，b），并根据古典概率的概率公式即可求此时概率P₁；
（2）把f（x）=0的两个根满足的条件转化为函数f（x）的两个零点满足的条件，分别画出点（a，b）满足的区域Ω及在区域Ω内满足条件0≤x₁≤1≤x₂的点（a，b）的区域，再利用几何概型的概率计算公式即可得出概率P₂．

解答： 解：（1）若a，b∈N，则满

0≤a≤4 0≤b≤4

的点共有5×5=25个结果，
若方程无实根，则△=4-4（b-a+3）＜0，
即a-b＜2，∴b＞a-2，
则当a=0时，b＞-2，此时b=0，1，2，3，4，
当a=1时，b＞-1，此时b=0，1，2，3，4，
当a=2时，b＞0，此时b=1，2，3，4，
当a=3时，b＞1，此时b=2，3，4，
当a=4时，b＞2，此时b=3，4，
则满足条件的点共有（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），共有19个结果，
则根据古典概率的公式可知此时概率P₁=

19

25

．
（2）令f（x）=x²-2x+b-a+3，由方程f（x）=0的两个实数根分别为x₁、x₂且x₁、x₂满足0≤x₁≤1≤x₂，
则根据二次函数根的分布可知，函数f（x）分别在区间（0，1]、[1，+∞）各有一个零点．
即

f(0)＞0 f(1)≤0

，即

b-a+3＞0 b-a+2≤0

．
分别画出点（a，b）满足的区域Ω：

0≤a≤4 0≤b≤4

，
在区域Ω内满足条件0≤x₁≤1≤x₂的点（a，b）的区域如图．
区域Ω的面积=4×4=16，梯形EFMN的面积=S_△AMN-S_△AEF=

1

2

×2×2-

1

2

×1×1=

3

2

∴方程f（x）=0的两个实数根分别为x₁、x₂且x₁、x₂满足0≤x₁≤1≤x₂的事件的概率P₂=

3 2

16

=

3

32

．

点评：本题主要考查古典概率和几何概型的概率的计算，考查学生的计算能力，综合性较强．