Question

二次函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（0，-2），且在x=1处切线的斜率为3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的在区间[t，t+1]上不单调，求实数t的取值范围；
（3）若对任意的x₁∈（0，1），x₂∈（0，

1

2

），都有f（x₁）+2＜log_ax₂（其中a＞0且a≠1）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知可得f（0）=-2，f′（1）=3，由此构造方程组，求出b，c的值，可得函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的在区间[t，t+1]上不单调，则函数图象的对称轴在给定区间上，由此构造关于t的不等式，解不等式可得实数t的取值范围；
（3）若对任意的x₁∈（0，1），x₂∈（0，

1

2

），都有f（x₁）+2＜log_ax₂（其中a＞0且a≠1）成立，只须满足log_ax₂ 不小于x∈（0，1）时，f（x）+2=x²+x的上界，结合对数函数的单调性，可求出a的取值范围．

解答： 解：（1）由二次函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（0，-2）得：
f（0）=-2，即c=-2，（1分）
又∵在x=1处切线的斜率为3．
∴f′（1）=2+b=3，即b=1（3分）
∴f（x）=x²+x-2                         （4分）
（2）函数f（x）=x²+x-2图象的开口朝上，对称轴为x=-

1

2

，
∴f（x）在区间（-∞，-

1

2

）上单减，在（-

1

2

，+∞）上单增．
若f（x）在上[t，t+1]不单调，
则有t＜-

1

2

＜t+1，即-

3

2

＜t＜-

1

2

∴实数t的取值范围为（-

3

2

，-

1

2

）．（8分）
（3）当x₁∈（0，1）时，f（x₁）+2=x₁²+x₁，
∵在x₁∈（0，1）上单增
∴f（x₁）+2∈（0，2）（9分）
要使对任意的x₁∈（0，1），x₂∈（0，

1

2

），都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立，
只须满足2≤log_ax₂ …（10分）
当a＞1时，log_ax₂＜log_a

1

2

＜0，显然不成立；                  （11分）
当0＜a＜1时，log_ax₂＞log_a

1

2

，
∴

0＜a＜1 loga 1 2 ≥2

，
解得

2

2

≤a＜1．（13分）
综上所述，a的取值范围为[

2

2

，1）．（14分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，对数函数的性质，恒成立问题，函数的值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．