Question

17．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥的无盖容器，试把容器的体积V表示为x的函数，并求容积的最大值．

Answer 1

分析 设出所截等腰三角形的底边边长为xcm，在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，表示出四棱锥的体积，根据实际意义写出定义域．再由三元基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，
在Rt△EOF中，EF=5cm，OF=$\frac{1}{2}$xcm，
∴EO=$\sqrt{25-\frac{1}{4}{x}^{2}}$，
∴V=$\frac{1}{3}$x²$\sqrt{25-\frac{1}{4}{x}^{2}}$．
依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}，
则V²=$\frac{1}{9}$x⁴（25-$\frac{1}{4}$x²）=$\frac{1}{72}$x²•x²•（200-2x²）
≤$\frac{1}{72}$（$\frac{{x}^{2}+{x}^{2}+200-2{x}^{2}}{3}$）³=$\frac{8×1{0}^{6}}{72×27}$，
即有x²=200-2x²，即x=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$cm时，该容器的容积取得最大值，
且为$\frac{1000\sqrt{3}}{27}$cm³．

点评 本题考查正四棱锥的体积的最大值，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．