Question

13．已知函数f（x）=asin²x+bsinx+c，其中a，b，c是非零实数，甲、乙两人做一游戏，他们轮流确定系数a，b，c（如甲令b=1，乙令a=-2，甲再令c=3）后，如果对于任意实数x，f（x）≠0，那么甲得胜，如果存在实数x，使f（x）=0，那么乙得胜，甲先选数，他是否有必胜策略？为什么？如果a，b，c是任意实数，结论如何？为什么？

Answer 1

分析 若a，b，c是非零实数，甲先确定b值，则不论乙确定a还是c，甲总能确定另外一个系数c或者a，使△=1-ac＜0，此时方程无解，即甲有必胜策略；
如果a，b，c是任意实数，分类讨论，可得乙有必胜策略．

解答 解：（1）若a，b，c是非零实数，则甲有必胜策略，理由如下：
①甲先确定b值，b≠0，
②不论乙确定a还是c，甲总能确定另外一个系数c或者a，使△=1-ac＜0，此时方程ax²+bx+c=0无解，
则对于任意实数x，f（x）≠0，
即甲必胜策略为：先确定b值，再根据乙确定的值，确定一个使△=1-ac＜0的值．
（2）如果a，b，c是任意实数，
①若甲先确定a，或b值，则只要乙确定c=0，则乙胜，
故甲必定先确定c值，且c≠0；
②此时，乙若确定b值，则甲总能确定另外一个系数a使△=1-ac＜0，此时方程ax²+bx+c=0无解，
则对于任意实数x，f（x）≠0，此时甲胜，
故乙必定先确定a值，
③若乙确定的a=0，则甲只要令b=0，方程就无解，甲胜，
故乙必确定的a≠0，
④若乙确定的a≠0，为使方程有解，乙确定的a值必与c值异号，
且为保证方程ax²+bx+c=0在[-1，1]上必有解，
可使|$\frac{c}{a}$|≤1，则乙还胜，
故乙有必胜策略．

点评 本题考查了类一元一次方程根的个数与系数的关系，难度中档．