Question

1．在数列{a_n}中，a₁=2，3（a_n-1）（a_n-1-1）+a_n-a_n-1=0（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=$\sqrt{{a}_{n}-1}$，{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＞$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3n+1}$-1）．

Answer 1

分析 （1）由3（a_n-1）（a_n-1-1）+a_n-a_n-1=0（n≥2），变形为3（a_n-1）（a_n-1-1）+（a_n-1）-（a_n-1-1）=0，化为$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=3，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由b_n=$\sqrt{\frac{1}{3n-2}}$＞$\frac{2}{\sqrt{3n+1}+\sqrt{3n-2}}$＞$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}$），利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明．

解答 （1）解：∵3（a_n-1）（a_n-1-1）+a_n-a_n-1=0（n≥2），
∴3（a_n-1）（a_n-1-1）+（a_n-1）-（a_n-1-1）=0，
化为$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=3，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}-1}\}$是等差数列，首项为1，公差为3，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴a_n=$\frac{3n-1}{3n-2}$．
（2）证明：b_n=$\sqrt{{a}_{n}-1}$=$\sqrt{\frac{1}{3n-2}}$＞$\frac{2}{\sqrt{3n+1}+\sqrt{3n-2}}$＞$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}$），
∴{b_n}的前n项和为T_n=b₁+b₂+…+b_n
＞$\frac{2}{3}$$[（\sqrt{4}-\sqrt{1}）+（\sqrt{7}-\sqrt{4}）+…+（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）]$
=$\frac{2}{3}$$（\sqrt{3n+1}-1）$．
∴T_n＞$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3n+1}$-1）．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”与“放缩法”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．