Question

5．对一切x∈R，|2x+1|+|x+2|≥-a²+4a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出|2x+1|+|x+2|的最小值为$\frac{3}{2}$，再解不等式，即可求a的取值范围．

解答 解：x＜-2时，|2x+1|+|x+2|=-2x-1-x-2=-3x-3＞3；
-2≤x≤-$\frac{1}{2}$时，|2x+1|+|x+2|=-2x-1+x+2=-x+1∈[$\frac{3}{2}$，3]；
x＞-$\frac{1}{2}$时，|2x+1|+|x+2|=2x+1+x+2=3x+3＞$\frac{3}{2}$，
∴|2x+1|+|x+2|的最小值为$\frac{3}{2}$，
∵对一切x∈R，|2x+1|+|x+2|≥-a²+4a恒成立，
∴$\frac{3}{2}$≥-a²+4a，
∴a≤2-$\frac{\sqrt{10}}{2}$或a≥2+$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查求a的取值范围，考查函数的最小值，求出|2x+1|+|x+2|的最小值为$\frac{3}{2}$是关键，属于中档题．