Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$=1，且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|（k＞0），令f（k）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求f（k）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$（用k表示）；
（Ⅱ）若f（k）≥x²-2tx-$\frac{1}{2}$对任意k＞0，任意t∈[-1，1]恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，对$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}|$两边平方即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，从而得出$f（k）=\frac{{k}^{2}+1}{4k}$；
（Ⅱ）先根据基本不等式求出k=1时，f（k）取最小值$\frac{1}{2}$，这样根据条件即可得到$\frac{1}{2}≥{x}^{2}-2tx-\frac{1}{2}$对任意的t∈[-1，1]恒成立，即得到g（t）=2xt-x²+1≥0对任意的t∈[-1，1]恒成立，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$，这样即可解出x的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题设得${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{b}}^{2}=1$，对$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}|$两边平方得：
${k}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=3（{\overrightarrow{a}}^{2}-2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{k}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}）$；
∴${k}^{2}+2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+1=3-6k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+3{k}^{2}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{{k}^{2}+1}{4k}$；
∴$f（k）=\frac{{k}^{2}+1}{4k}（k＞0）$；
（Ⅱ）$f（k）=\frac{{k}^{2}+1}{4k}=\frac{k}{4}+\frac{1}{4k}≥2\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}$，当且仅当k=1时取“=”；
∵f（k）≥x²-2tx-$\frac{1}{2}$对任意的k＞0，t∈[-1，1]恒成立；
∴$\frac{1}{2}$≥x²-2tx-$\frac{1}{2}$；
即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立，而g（t）在[-1，1]上为单调函数或常函数；
$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=2x-{x}^{2}+1≥0}\\{g（-1）=-2x-{x}^{2}+1≥0}\end{array}\right.$；
解得1-$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{2}$-1；
故实数x的取值范围为[1-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1]．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，基本不等式在求最值时的应用，清楚单调函数或常数函数g（t）≥0在t∈[-1，1]上恒成立时，等价于$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$成立．