Question

9．已知数列{a_n}是公差为d的等差数列；
（1）若a₁+1，a₃+3，a₅+5构成等比数列，求d的值；
（2）在（1）题条件下，若a₁=3，设b_n=a_n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，数列{b_n}前n项和为S_n，求证：$\frac{3}{2}$≤S_n≤$\frac{17}{8}$．

Answer 1

分析 （1）a₁+1，a₃+3，a₅+5构成等比数列，可得$（{a}_{3}+3）^{2}$=（a₁+1）（a₅+5），即$（{a}_{1}+2d+3）^{2}$=（a₁+1）（a₁+4d+5），解得d．
（2）a_n=3-（n-1）=4-n，b_n=a_n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=（4-n）$•（\frac{1}{2}）^{n}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出S_n．再利用数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：∵a₁+1，a₃+3，a₅+5构成等比数列，∴$（{a}_{3}+3）^{2}$=（a₁+1）（a₅+5），
∴$（{a}_{1}+2d+3）^{2}$=（a₁+1）（a₁+4d+5），化为（d+1）²=0，解得d=-1．
（2）证明：a_n=3-（n-1）=4-n，
∴b_n=a_n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=（4-n）$•（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴S_n=$3×\frac{1}{2}$+2×$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（4-n）•（\frac{1}{2}）^{n}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$3×（\frac{1}{2}）^{2}$+2×$（\frac{1}{2}）^{3}$+…+（5-n）$•（\frac{1}{2}）^{n}$+（4-n）•$（\frac{1}{2}）^{n+1}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$3×\frac{1}{2}$-$[（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{3}+…+（\frac{1}{2}）^{n}]$-（4-n）•$（\frac{1}{2}）^{n+1}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-（4-n）•$（\frac{1}{2}）^{n+1}$=1+（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n+1}$，
∴S_n=2+（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n}$．∵S_n+1-S_n=$（2+\frac{n-1}{{2}^{n+1}}）$-$（2+\frac{n-2}{{2}^{n}}）$=$\frac{3-n}{{2}^{n+1}}$，
∴当1≤n≤3时，数列{S_n}是单调递增数列，当n≥4时，数列{S_n}是单调递减数列．
即S₁＜S₂＜S₃=S₄＞S₅＞S₆…，
又$\frac{3}{2}$=S₁＜S₂=2，且n≥3，S_n＞2．
∴S_n的最小值为$\frac{3}{2}$；当n=3或4时，S_n的最大值为$\frac{17}{8}$．
故：$\frac{3}{2}$≤S_n≤$\frac{17}{8}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．