Question

19．某校对该校的1000名教师的年龄进行统计分析，年龄的频率分布直方图如图所示．规定年龄[25，40）的为青年教师，年龄[40，50）为中年教师，年龄在[50，60）为老年教师．
（I）求年龄[30，35）、[40，45）的教师人数；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中、青年中抽取18人进行课堂展示，求抽到年龄在[35，40）的人数．
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的中年教师中，随机选取2名教师进行总结交流，求抽取的中年教师中甲、乙至少有一名作总结交流的概率．

Answer 1

分析 （I）根据频率=$\frac{频数}{样本容量}$，求出对应的频率与频数；
（Ⅱ）根据分层抽样原理，计算出从中青年教师中抽取的18人年龄在[35，40）中的人数；
（Ⅲ）利用列举法求出从7名教师中随机选取2名的可能情况，计算甲、乙至少有1名作总结交流的概率．

解答 解：（I）年龄在[40，45）的教师人数为1000×0.04×5=200人；
年龄在[30，35）的教师频率为$\frac{1}{2}$[1-（0.07+0.04+0.03）×5]=0.15
年龄在[30，35）的教师人数为1000×0.15=150人；
（Ⅱ）中青年教师共有1000×（1-0.02×5）=900，
其中年龄在[35，40）中有1000×0.07×5=350人，
设抽取的18人年龄在[35，40）中的有x人，
则18：900=x：350，解得x=7；
（Ⅲ）中年教师共350人，所以抽出的18人中，中年教师有7人，
不妨设7名教师分别为甲、乙、A、B、C、D、E，
从7人中随机选取2名教师的可能情况有
甲乙，甲A，甲B，甲C，甲D，甲E，乙A，乙B，乙C，乙D，乙E，
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共21种，
其中甲乙至少有1人有11种情况，
所以抽取的中年教师中甲、乙至少有一名作总结交流的概率为$\frac{11}{21}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．