Question

求下列函数的导数：
（1）y=（1-

x

）（1+

1

x

）；
（2）y=

lnx

x

；
（3）y=tanx；
（4）y=xe^1-cosx．

Answer 1

分析：（1）先将式子展开化简，再由幂函数的导数求解即可．
（2）由两个函数商的求导法则，结合对数函数的导数纠结即可．
（3）将tanx转化为正弦和余弦商的形式，由两个函数商的求导法则求解．
（4）首先将函数看作两个函数y=x和y=e^1-cosx的乘积形式，利用两个函数积的求导法则求解，
而y=e^1-cosx为复合函数，求导时应用复合函数求导法则．

解答：解：（1）∵y=（1-

x

）（1+

1

x

）=

1

x

-

x

=x-

1

2

-x

1

2

，
∴y′=（x-

1

2

）′-（x

1

2

）′=-

1

2

x-

3

2

-

1

2

x-

1

2

．
（2）y′=（

lnx

x

）′=

(lnx)′x-x′lnx

x2

=

\f(1

x

•x-lnx，x2)=

1-lnx

x2

．
（3）y′=（

sinx

cosx

）′=

(sinx)′cosx-sinx(cosx)′

cos2x

=

cosxcosx-sinx(-sinx)

cos2x

=

1

cos2x

．
（4）y′=（xe^1-cosx）′=e^1-cosx+x（e^1-cosx）′
=e^1-cosx+x[e^1-cosx•（1-cosx）′]
=e^1-cosx+xe^1-cosx•sinx
=（1+xsinx）e^1-cosx．

点评：本题考查导数的求解、导数的运算法则、复合函数的导数，考查运算能力．