Question

14．设A={y|y=x²+2x+4，x∈R}，b={y|y=ax²-2x+4a，x∈R}
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为集合A和B都与二次函数有关，所以通过二次函数图象可寻找到解题思路．还要注意这里出现了字母a作二次函数的二次项系数，所以还要对a进行分类讨论．
（2）A∪B=R，则B中二次函数的开口方向必须向下，且函数值的最小值不小于3．

解答 解：（1）①当a=0时，B={y|y=ax²-2x+4a}={y|y=-2x}=R，此时A⊆B，
∴a=0符合题意；
②当a≠0时，如图所示．表示集合A中二次函数的图象．
又∵A⊆B，∴B中二次函数的开口方向必须向上．
③当a＞0，且函数值的最小值不大于3，即$\frac{16{a}^{2}-4}{4a}$≤3时，解得-$\frac{1}{4}$≤a≤1，
综合①②③可得0≤a≤1．
（2）A∪B=R，则B中二次函数的开口方向必须向下，且函数值的最小值不小于3，即$\frac{16{a}^{2}-4}{4a}$≥3时，解得-$\frac{1}{4}$≤a≤1，
∴$\frac{1}{4}$≤a＜0．

点评 本题考查集合的包含关系，考查分类讨论的数学思想，正确转化是关键．