Question

【题目】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆的左、右焦点分别作倾斜角为的直线，分别交椭圆于A，B和C，D两点，当时，直线AB与CD之间的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若AB不与x轴重合，点P在椭圆上，且满足（t＞0）.若，求直线AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）当时，直线AB与CD之间的距离为，得，所以，由椭圆C的离心率为，，可求椭圆方程.（2）先验证直线的斜率不存在时，不满足题意，当直线的斜率存在时，设方程为，联立直线和椭圆方程，设，由，把代入椭圆方程得，即可求AB方程.

解：（1）设，由之间的距离为，得，所以，

由椭圆C的离心率为，得，所以，，

所以椭圆C的标准方程为.

（2）若直线的斜率不存在，则易得，，得，显然点不在椭圆上，舍去

因此设直线的方程为，设，

将直线的方程与椭圆的方程联立，整理得，

因为，所以，

则由，

得

将P点坐标代入椭圆C的方程，得;

将带入等式得，

因此所求直线AB的方程为