Question

(本题满分12分)

已知椭圆的左、右焦点为，过点斜率为正数的直线交两点，且成等差数列。

（Ⅰ）求的离心率；

（Ⅱ）若直线y=kx（k<0）与交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值。[来源:学*科*网Z*X*X*K]

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有

|AF₂|＋|AB|＋|BF₂|＝4a，                                                                   ①

|AF₂|＋|BF₂|＝2|AB|，                                                                        ②

|AF₂|²＋|AB|²＝|BF₂|²，                                                                      ③…3分

由①、②、③，解得|AF₂|＝a，|AB|＝a，|BF₂|＝a，

所以点A为短轴端点，b＝c＝a，Γ的离心率e＝＝．…………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x²＋2y²＝a²．                              

不妨设C(x₁，y₁)、D(x₂，y₂)（x₁＜x₂），

则C、D坐标满足

由此得x₁＝－，x₂＝．

设C、D两点到直线AB：x－y＋a＝0的距离分别为d₁、d₂，

因C、D两点在直线AB的异侧，则

d₁＋d₂＝＋＝

＝＝＝．………………………8分

∴S＝|AB|( d₁＋d₂)＝·a·＝·．

设t＝1－k，则t＞1，＝＝，

当＝，即k＝－时，最大，进而S有最大值．……………………12分

 

【解析】略