Question

已知定义在R上的函数F（x）满足F（x+y）=F（x）+F（y），当x＞0时，F（x）＜0，且对任意的x∈[0，1]，不等式组

F(2kx-x2)＜F(k-4) F(x2-kx)＜F(k-3)

均成立，
（1）求证：函数F（x）在R上为减函数
（2）求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性的定义证明，设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0然后判定F（x₂）与F（x₁）的大小即可得到结论；
（2）根据函数的单调性可得

2kx-x2＞k-4 x2-kx＞k-3

对x∈[0，1]成立，然后转化成

f(x)=x2-2kx+k-4＜0 g(x)=x2-kx-k+3＞0

对x∈[0，1]成立，最后求出f（x）＜0对x∈[0，1]成立时k的范围，以及g（x）＞0对x∈[0，1]成立时k的范围，再求交集即可．

解答：解：（1）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0∴F（x₂-x₁）＜0                                      …（1分）
∴F（x₂）=F（x₂-x₁）+F（x₁）＜F（x₁）∴函数F（x）在R上为减函数                            …（4分）
（2）∵函数F（x）在R上为减函数∴

2kx-x2＞k-4 x2-kx＞k-3

对x∈[0，1]成立，…（6分）
依题有

f(x)=x2-2kx+k-4＜0 g(x)=x2-kx-k+3＞0

对x∈[0，1]成立
由于f（x）＜0对x∈[0，1]成立∴

f(0)＜0 f(1)＜0

∴-3＜k＜4①…（10分）
由于g（x）＞0对x∈[0，1]成立∴k＜

x2+3

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+4

x+1

∴k＜(x+1)+

4

x+1

-2恒成立∴k＜2②…（14分）
综上由①、②得-3＜k＜2…（16分）

点评：本题主要考查了函数单调性的判定和不等式恒成立问题，是一道综合题，有一定的难度，属于难题．