Question

16．已知函数f（x）=x³+x-16．
（1）求满足斜率为4的曲线的切线方程；
（2）求曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线的方程；
（3）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设切点坐标为（x₀，y₀），求出导数，求得切线的斜率，解方程可得切点的坐标，进而得到切线的方程；
（2）求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（3）设出切点，可得切线的斜率，切线的方程，代入原点，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程．

解答 解：（1）设切点坐标为（x₀，y₀），
函数f（x）=x³+x-16的导数为f′（x）=3x²+1，
由已知得f′（x₀）=k_切=4，即$3{x_0}^2+1=4$，解得x₀=1或-1，
切点为（1，-14）时，切线方程为：y+14=4（x-1），即4x-y-18=0；
切点为（-1，-18）时，切线方程为：y+18=4（x+1），即4x-y-14=0；
（2）由已知得：切点为（2，-6），k_切=f'（2）=13，
则切线方程为y+6=13（x-2），
即13x-y-32=0；
（3）设切点坐标为（x₀，y₀），
由已知得f'（x₀）=k_切=$3{x_0}^2+1$，且${y_0}={x_0}^3+{x_0}-16$，
切线方程为：y-y₀=k（x-x₀），
即$y-（{x_0}^3+{x_0}-16）=（3{x_0}^2+1）（x-{x_0}）$，
将（0，0）代入得x₀=-2，y₀=-26，
求得切线方程为：y+26=13（x+2），即13x-y=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意确定切点，考查直线方程的运用，以及运算能力，属于中档题．