Question

已知动圆M与圆C₁：（x+4）²+y²=2外切，与圆C₂：（x-4）²+y²=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

分析：根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心M的轨迹，进而可求其方程．

解答：解：设动圆圆心M（x，y），半径为r，
∵圆M与圆C₁：（x+4）²+y²=2外切，与圆C₂：（x-4）²+y²=2内切，
∴|MC₁|=r+

2

，|MC₂|=r-

2

，
∴|MC₁|-|MC₂|=2

2

＜8，
由双曲线的定义，可得a=

2

，c=4；则b²=c²-a²=14；
∴点M的轨迹是以点C₁，C₂为焦点的双曲线的一支，
∴动圆圆心M的轨迹方程：

x2

2

-

y2

14

=1(x≥

2

)．

点评：考查两圆的位置关系及判定方法和双曲线的定义和标准方程，特别注意是轨迹是双曲线的一支还是双支，这是学生在解题中最易忽视的地方，属中档题．