Question

17．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）在$[-\frac{π}{4}，\frac{2π}{3}]$上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）依题意可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}ω≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{2π}{3}ω≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解之即可．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）的解析式，令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N^*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b-a的最小值．

解答 解：（1）因为ω＞0，y=f（x）=2sinωx在$[-\frac{π}{4}，\frac{2π}{3}]$上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}ω≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{2π}{3}ω≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得0＜ω≤$\frac{3}{4}$．
∴ω的取值范围为（0，$\frac{3}{4}$]．
（2）令ω=2，将函数y=f（x）=2sin2x的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，可得函数y=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的图象，
令g（x）=0，求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或 2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈z，
求得x=kπ+$\frac{5π}{12}$ 或x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z，
故函数g（x）的零点为x=kπ+$\frac{5π}{12}$或x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z
∴相邻两个零点之间的距离为$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
若b-a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N^*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，
∴b-a-14π≥$\frac{π}{3}$．
另一方面，在区间[$\frac{5π}{12}$，14π+$\frac{π}{3}$+$\frac{5π}{12}$]恰有30个零点，
因此b-a的最小值为14π+$\frac{π}{3}$=$\frac{43π}{3}$．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力，属于难题．