Question

6．（1）已知tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{8}{3}$．求3sin²α-cos²α的值；
（2）已知sin（3π+θ）=$\frac{1}{4}$，求$\frac{cos（π+θ）}{cosθ[cos（π+θ）-1]}$+$\frac{sin（\frac{π}{2}-θ）}{cos（θ+2π）cos（π+θ）+cos（-θ）}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件求得tanα的值，再根据3sin²α-cos²α=$\frac{{3tan}^{2}α-1}{{tan}^{2}α+1}$，计算求的结果．
（2）由sin（3π+θ）=-sinθ=$\frac{1}{4}$，求得sinθ=-$\frac{1}{4}$，再利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．

解答 解：（1）∵已知tanα-$\frac{1}{tanα}$=$\frac{8}{3}$，∴tanα=3，或tanα=-$\frac{1}{3}$．
∴3sin²α-cos²α=$\frac{{3sin}^{2}α{-cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{{3tan}^{2}α-1}{{tan}^{2}α+1}$，
当tanα=3 时，3sin²α-cos²α=$\frac{{3tan}^{2}α-1}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{27-1}{9+1}$=2.6，
当tanα=-$\frac{1}{3}$ 时，3sin²α-cos²α=$\frac{{3tan}^{2}α-1}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{\frac{3}{9}-1}{\frac{1}{9}+1}$=-0.6．
（2）∵已知sin（3π+θ）=-sinθ=$\frac{1}{4}$，∴sinθ=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{cos（π+θ）}{cosθ[cos（π+θ）-1]}$+$\frac{sin（\frac{π}{2}-θ）}{cos（θ+2π）cos（π+θ）+cos（-θ）}$=$\frac{-cosθ}{cosθ•（-cosθ-1）}$+$\frac{cosθ}{cosθ•（-cosθ）+cosθ}$=$\frac{1}{cosθ+1}$+$\frac{1}{1-cosθ}$
=$\frac{1-cosθ}{（1+cosθ）•（1-sinθ）}$+$\frac{1+cosθ}{（1+cosθ）•（1-cosθ）}$=$\frac{2}{{sin}^{2}θ}$=32．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．