Question

如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AM⊥MN，若侧棱长SA=

3

，则正三棱锥S-ABC的外接球的体积为（　　）

• A、

  9

  2

  π
• B、9π
• C、12π
• D、16π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．

解答： 解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB
∵三棱锥S-ABC为正棱锥，
∴SB⊥AC（对棱互相垂直）
∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，
∴MN⊥平面SAC，
∴SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°
以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，
正方体的对角线就是球的直径．
∴2R=

3

SA=3，
∴R=

3

2

，
∴V=

4

3

πR³=

9π

2

故选：A

点评：本题考查了三棱锥的外接球的体积，考查空间想象能力．三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．