Question

4．在锐角△ABC中，设角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（b+c，a²+bc），$\overrightarrow{n}$=（b+c，-1），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求△ABC的周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量数量积的坐标运算，整理可得b²+c²-a²=-bc，利用余弦定理可求cosA=-$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可得A的值．
（2）由（1）及a=3，利用余弦定理，基本不等式可求得（b+c）²≤12进而可求△ABC的周长的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（b+c，a²+bc），$\overrightarrow{n}$=（b+c，-1），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，
∴（b+c）²-a²-bc=0，
∴b²+c²-a²=-bc，…2分
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，…4分
又A∈（0，π），所以$A=\frac{2π}{3}$…（6分）
（2）由（1）及a=3，得${a^2}={b^2}+{c^2}+bc={（{b+c}）^2}-bc≥{（{b+c}）^2}-{（{\frac{b+c}{2}}）^2}=\frac{3}{4}{（{b+c}）^2}$，
所以（b+c）²≤12，…（9分）
所以$b+c≤2\sqrt{3}，a+b+c≤3+2\sqrt{3}$，…（11分）
故△ABC的周长的最大值$3+2\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．